اگر آلفا و بتا ریشه‌های معادله درجه دوم ایکس به توان ۲ منهای ۴ ایکس به اضافه یک مساوی صفر باشد جواب آلفا به اضافه یک بر آلفا به اضافه بتا به اضافه یک بر بتا را به دست اورید

برای حل سوال، ابتدا معادله درجه دوم مورد نظر را بررسی می‌کنیم: $$x^2-4x+1=0$$ از فرمول ریشه‌های معادله درجه دوم استفاده می‌کنیم: $$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ که در اینجا $a=1$، $b=-4$، و $c=1$ است. بنابراین: 1. ابتدا دلتای معادله را محاسبه می‌کنیم: $$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\times 1\times 1=16-4=12$$ 2. حالا ریشه‌های معادله را محاسبه می‌کنیم: $$x=\frac{4\pm \sqrt{12}}{2}$$ که می‌توانیم $\sqrt{12}$ را به $\sqrt{4\times 3}=2\sqrt{3}$ تبدیل کنیم. بنابراین ریشه‌ها به صورت زیر هستند: $$x_1=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}$$ $$x_2=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}$$ حالا می‌خواهیم مقدار زیر را محاسبه کنیم: $$\frac{\alpha +1}{\alpha }+\frac{\beta +1}{\beta }$$ که در اینجا $\alpha$ و $\beta$ به ترتیب مساوی $x_1$ و $x_2$ هستند. 3. برای محاسبه، از خصوصیات کسرها استفاده می‌کنیم: $$\frac{\alpha +1}{\alpha }=1+\frac{1}{\alpha }$$ $$\frac{\beta +1}{\beta }=1+\frac{1}{\beta }$$ بنابراین: $$\frac{\alpha +1}{\alpha }+\frac{\beta +1}{\beta }=(1+\frac{1}{\alpha })+(1+\frac{1}{\beta })=2+(\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta })$$ 4. برای محاسبه $\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }$ از فرمول زیر استفاده می‌کنیم: $$\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }=\frac{\alpha +\beta }{\alpha \beta }$$ با استفاده از رابطه‌ی ویتا و ودیسن معادله: - $\alpha +\beta =4$ - $\alpha \beta =1$ بنابراین: $$\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }=\frac{4}{1}=4$$ 5. حالا مجموع را محاسبه می‌کنیم: $$2+(\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta })=2+4=6$$ پس جواب نهایی ما: $$\boxed{{\displaystyle 6}}$$